понедельник, 29 июля 2013 г.

Лист Мёбиуса


Начать знакомство с математическими объектами я предлагаю с листа Мёбиуса (ленты Мёбиуса, Möbius Strip). Чтобы понять что это и как оно устроено предлагаю сделать несложную модель. Вам понадобятся листок бумаги, карандаш и клей (или степлер). И никаких формул и подсчётов. Но я сразу же могу вас заверить, что точное математическое определение мы тоже обязательно разберём, но чуть позже.


Построение 


Итак, берём вытянутый лист бумаги ≈ 20×5 см. и склеиваем его (я обычно скрепляю степлером) так, чтобы точки, обозначенные одинаковыми буквами на рисунке совпали:




Замечание: для особо усердных я отмечу, что нужно сделать всего один поворот на 180°, чтобы получить лист Мёбиуса. О том как называется то, что получится если сделать два или больше оборотов будет сказано ниже.

И так, мы получили лист Мёбиуса. На первый взгляд ничего удивительного. Да и на второй. Но что будет если...

Больше экспериментов!


Замечание: в этой главе я специально не даю ответов на поставленные вопросы. Все ответы (если захочется) можно увидеть в прикреплённой презентации. 

  1. Для начала, представьте себе кольцо и начните его красить (через край перегибаться нельзя!). Что получится в конце легко себе представить - мы закрасим всю внешность (внутренность) и остановимся. Теперь проделаем то же самое с листом Мёбиуса. Начнём в произвольном месте и будем закрашивать, пока не наткнёмся на уже закрашенный фрагмент. Что мы получим? (лист Мёбиуса будет полностью закрашен)
  2. Разрежьте кольцо вдоль по середине. Разрежьте лист Мёбиуса вдоль по середине. Это действительно неожиданный результат)
  3. Теперь режьте лист Мёбиуса (лучше сделайте новый)  не строго по центру а ближе к какому-то краю. Понятно, что для кольца данная процедура не отличается от разрезания по центру. А как вы думаете, что будет для листа Мёбиуса?
  4. Теперь пора разбираться в чудесах. Выясните как отступ от края в задании 3 влияет на получаемые объекты. 
  5. И наконец последний вопрос. Вот мы разрезали лист Мёбиуса. Получилось нечто. а давайте это ещё раз разрежем. Что получится? А ещё раз? и ещё? Стоит запастись широким листом (что значит, что он должен быть и достаточно длинным) чтобы выполнить все эти операции.
Если вам всё ещё не кажется убедительным, что лента объект занимательный, то попробуйте придумать объект, не похожий на неё обладающий теми же свойствами (ну хотя бы свойством из первого задания).

История открытия


Лист Мёбиуса относится к числу объектов, которые были найдены внезапно. Рассказывают, что открыть свой «лист» Мёбиусу помогла служанка, которая сшила неправильно концы ленты. Как бы то ни было, но в 1858 году лейпцигский профессор Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868), ученик Гаусса, астроном и геометр, послал в Парижскую академию наук работу, включавшую сведения об этом листе. Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы и, не дождавшись, опубликовал ее результаты. Одновременно с Мёбиусом изобрел этот лист и другой ученик Гаусса — Иоганн Бенедикт Листинг (1808-1882)



Применение на практике


Конвейерная лента, скручивается в лист Мёбиуса, чтобы медленнее изнашивалась. Если конвейерную ленту свернуть в кольцо, то она всегда будет тереться о валики одной стороной, тогда как свёрнутая в лист Мёбиуса она будет соприкасаться по всей поверхности и, значит, медленнее сотрётся в конкретном месте принимаю нагрузку равномерно. 

Аналогичный принцип у точильного или шлифовального станка встречается в расположении используемой там точильной ленты.  

В настоящее время часто можно встретить шарфы, называемые "снуд". Это тот же лист Мёбиуса, только вязанный. 

Так же, как интересное физическое устройство на основе ленты Мёбиуса можно вспомнить резистор Мёбиуса.





Алгебраический подход. Определение, формулы построения

Определение



Лист Мёбиуса (ле́нта Мёбиуса) — простейшая неориентируемая поверхность с краем, односторонняя содержащаяся в обычном трёхмерном пространстве \(\mathbb{R}^3 \). Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не пересекая края.

Разберёмся чуть подробнее с термином неориентируемая. Что это значит?
Поверхность называется ориентируемой, когда можно выбрать направление её обхода и вместе с тем - направление нормали. Т.е. в каждой точке можно задать нормаль (перпендикуляр к касательной плоскости в точке) чтобы множество этих нормалей было гладко "причёсано" (к сожалению, сейчас мы не можем дать более чёткое определение, но в следующих постах мы дойдём и до этой темы). В случае же листа Мёбиуса (как видно по картинке) в каждой точке существуют две равноправные нормали в разные стороны, которые связаны непрерывным гладким путём. Поэтому условие ориентируемости не выполняется и следовательно лента Мёбиуса - не ориентируема.

Формула 


Как и любой трёхмерный объект, который может существовать в нашем мире, лист Мёбиуса,  можно его задать с помощью формул. Следующая система задаёт его:

\(  \begin{cases} x(r, \alpha) = &\cos{\alpha}  \left( 1 + \frac{r}{2} \cos{\frac{\alpha}{2}}\right) \\ y(r, \alpha) = & \sin{\alpha}\left(1 + \frac{r}{2} \cos{\frac{\alpha}{2}}\right) \\  z(r, \alpha) = &\frac{r}{2} \sin{ \frac{\alpha}{2}} \end{cases} \)  где  \( 0 \le \alpha < 2\pi \) и \(-1 \le r \le 1\).

Выглядит не совсем просто для восприятия,не правда ли? Отмечу лишь, что переменная \( \alpha \)  задаёт некий угол, а переменная \(r\) — расстояние от начала координат до искомой точки. Воспользуйтесь ПО Mathematiсa,  или сайтом WolframAlpha, чтобы построить объект по формулам и убедиться, что они действительно задают лист Мёбиуса. 
Чтобы отобразить поверхность, задаваемую системой выше введите в строку поиска следующий код:

ParametricPlot3D[{Cos[\[Alpha]] (1 + r/2 Cos[\[Alpha]/2]), 
  Sin[\[Alpha]] (1 + r/2 Cos[\[Alpha]/2]), 
  r/2 Sin[\[Alpha]/2]}, {\[Alpha], 0, 2 \[Pi]}, {r, -1, 1}]


Замечание: в Mathematiсa объект можно даже повращать и поэкспериментировать с переменными. Скажем, поделить z на 2 или домножить \(\alpha\) или y на 5.

В народном и субъективном творчестве


Примеров тому несметное множество. Я не хочу здесь углубляться в это, отмечу лишь что особенно области творчества на тему ленты Мёбиуса прославился Мауриц Эшер с его гравюрами и литографиями (к этому художнику, не любившему математику, но любимому математиками всего мира мы ещё вернёмся). Некоторые из его работ представлены в презентации, но если вы поищите - уверяю, вы легко распознаете ленту в его работах. 

Я знаю всего 5 работ Эшера, явно использующих принцип ленты Мёбиуса. А вы?

В завершении поста прадлагаю вам посмотреть как знаменитый "Крабий Канон" Баха сворачивается в лист Мёбиуса и очень наглядно по нему строится: 

Ссылки: 

4 комментария:

  1. Привет! Классный пост! Честно говоря я раньше не задумывался про эти фокусы с разрезанием.
    Про приложения, могу добавить, что если квантовую систему поселить в пространство с нетривиальной топологией, то могут получиться интересные эффекты.
    Пример. Группа китайских товарищей в свое время посчитала (см. http://arxiv.org/abs/0906.1634), что полоска графена свернутая в ленту Мебиуса проявляет свойства т. н. топологического изолятора. Граница полоски становится металлом (для электронов локализованных на границе ширина запрещенной зоны равна нулю) а остальная часть полоски ведет себя как диэлектрик (ненулевая запрещенная зона для электроннов распространяющихся in the bulk). Полоска замкнутая в обычное кольцо проявляет металлические свойства и на границе и "в объеме".
    Про экспериментальную демонстрацию этого эффекта я ничего не знаю. Но дело это трудное, т. к. во первых, нелегко сделать ленту Мебиуса из графена, а во вторых, электронные свойства любой достаточно узкой полоски графена сильно зависят от формы края, в частности в этой работе предполагался "зигзаг" край. Как сделать край полоски нужной формы с атомной точностью -- одна из основных проблем в графеновой электронике.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. ух ты! круто) Спасибо, буду знать) а что значит "in the bulk"? Хотя бы в двух словах

      Удалить
    2. Этот комментарий был удален автором.

      Удалить
    3. in the bulk = в объеме, ну в смысле не на границе. Я просто долго сомневался как это адекватно перевести на русский, лента же плоская ^^, объема у нее нет... Дальше я хотел поподробнее объяснить что же сделали авторы работы, физика там довольно любопытная. Но тут я пожалуй не буду, получается очень длинно. Лучше свой пост напишу (qftfancy.blogspot.com) Спасибо тебе за идею ^^ !

      Удалить